הסתברות וקוביות שקרן

ניתן לנתח משחקי סיכוי רבים בעזרת מתמטיקה של הסתברות. במאמר זה נבחן היבטים שונים של המשחק הנקראים קוביות שקרן. לאחר תיאור המשחק הזה, נחשב את ההסתברויות הקשורות אליו.

משחק הקוביות של שקרן הוא למעשה משפחת משחקים הכוללת בלוף והונאה. ישנן מספר גרסאות של המשחק הזה, והוא עוסק בכמה שמות שונים כמו קוביות הפיראטים, ההונאה ודודו. גרסה של משחק זה הוצגה בסרט שודדי הקאריביים: חזה המת.

בגרסת המשחק שנבחן, לכל שחקן יש גביע וסט עם אותו מספר קוביות. הקוביות הן קוביות סטנדרטיות בעלות שישה צלעות הממוספרות מאחת לשש. כולם מגלגלים את הקוביות שלהם, ושומרים עליהם מכוסה על ידי הספל. בשעה המתאימה, שחקן מסתכל על קבוצת הקוביות שלו, ושומר עליהם מוסתרים מכל האחרים. המשחק מתוכנן כך שלכל שחקן יש ידע מושלם בערכת הקוביות שלו, אך אין לו ידע על הקוביות האחרות שגלגלו.

אחרי שלכולם הייתה הזדמנות להסתכל על הקוביות שלהם שהופצו, ההצעות מתחילות. בכל סיבוב לשחקן יש שתי אפשרויות: להציע הצעה גבוהה יותר או לקרוא להצעה הקודמת שקר. ניתן לבצע הצעות מחיר גבוהות יותר על ידי הצעת מחיר לערך קוביות גבוה יותר מאחד לשש, או על ידי הצעת מחיר רב יותר מאותו ערך קוביות.

לדוגמה, ניתן להגדיל את הצעת המחיר של "שלושה תאומים" על ידי קביעת "ארבעה תאומים". אפשר גם להגדיל אותו באמירת "שלוש שלשות." באופן כללי, לא מספר הקוביות וגם ערכי הקוביות לא יכולים לרדת.

מכיוון שרוב הקוביות נסתרות מהעין, חשוב לדעת לחשב כמה הסתברויות. בידיעה זה קל יותר לראות אילו הצעות מחיר עשויות להיות נכונות, ומה הצפוי להיות שקרים.

השיקול הראשון הוא לשאול, "כמה קוביות מאותו סוג היינו מצפים?" לדוגמה, אם נגלגל חמש קוביות, כמה מהן היינו מצפים להיות שתיים? התשובה לשאלה זו משתמשת ברעיון של ערך צפוי.

הערך הצפוי של משתנה אקראי הוא ההסתברות לערך מסוים, כפול ערך זה.

ההסתברות שהמתים הראשונים הם שתיים היא 1/6. מכיוון שהקוביות אינן תלויות זו בזו, ההסתברות שאחת מהן היא שתיים היא 1/6. המשמעות היא שהמספר הצפוי של התאומים שהתגלגלו הוא 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

כמובן, אין שום דבר מיוחד בתוצאה של שניים. אין שום דבר מיוחד במספר הקוביות ששקלנו. אם נתגלגל n קוביות, אז המספר הצפוי מכל אחת משש התוצאות האפשריות הוא n/6. טוב לדעת את המספר הזה מכיוון שהוא נותן לנו קו בסיס לשימוש בעת התשאול אחר הצעות המחיר של אחרים.

לדוגמה, אם אנו משחקים קוביות שקרן עם שישה קוביות, הערך הצפוי של אחד מהערכים 1 עד 6 הוא 6/6 = 1. פירוש הדבר שעלינו להיות ספקנים אם מישהו יציע יותר מאחד מכל ערך שהוא. בטווח הארוך היינו ממוצעים על אחד הערכים האפשריים.

נניח שאנחנו מגלגלים חמש קוביות ואנחנו רוצים למצוא את ההסתברות לגלגל שתי שלשות. ההסתברות למות היא שלשה היא 1/6. ההסתברות למות אינה שלוש היא 5/6. גלילי הקוביות הללו הם אירועים עצמאיים, ולכן אנו מכפילים את ההסתברויות יחד באמצעות ה- כלל הכפל.

ההסתברות ששתי הקוביות הראשונות הן שלשות והקוביות האחרות אינן שלשות ניתנת על ידי המוצר הבא:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

שתי הקוביות הראשונות להיות שלשות היא רק אפשרות אחת. הקוביות שהן שלשות יכולות להיות שתיים מחמשת הקוביות שאנחנו מגלגלים. אנו מציינים מיתה שאינה שלשה על ידי *. להלן דרכים אפשריות לקבל שתי שלשות מתוך חמש לחמניות:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

אנו רואים שישנן עשר דרכים לגלגל בדיוק שתי שלשות מתוך חמש קוביות.

כעת אנו מכפילים את ההסתברות שלנו לעיל בעשר הדרכים בהן אנו יכולים לקבל קביעת תצורה זו של קוביות. התוצאה היא 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. זה בערך 16%.

כעת אנו כללים את הדוגמא לעיל. אנו שוקלים את ההסתברות להתגלגל n קוביות והשגת מדויק k שהם בעלי ערך מסוים.

בדיוק כמו קודם, ההסתברות לגלגל את המספר שאנחנו רוצים הוא 1/6. ההסתברות לא לגלגל מספר זה ניתנת על ידי כלל השלמה כמו 5/6. אנחנו רוצים k מהקוביות שלנו להיות המספר שנבחר. זה אומר ש n - k הם מספר אחר מזה שאנחנו רוצים. ההסתברות של הראשונה k קוביות שהן מספר מסוים עם הקוביות האחרות, לא המספר הזה הוא:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

זה יהיה מייגע, שלא לדבר על זמן רב, לרשום את כל הדרכים האפשריות לגלגל תצורה מסוימת של קוביות. לכן עדיף להשתמש בעקרונות הספירה שלנו. באמצעות אסטרטגיות אלה אנו רואים שאנחנו סופרים שילובים.

יש C (n, k) דרכים להתגלגל k של קוביות מסוג מסוים מתוך n קוביות. המספר הזה ניתן על ידי הנוסחה n!/(k!(n - k)!)

מחברים הכל יחד, אנו רואים שכשאנחנו מתגלגלים n קוביות, ההסתברות לכך בדיוק k מהם מספר מסוים ניתן על ידי הנוסחה:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

יש דרך נוספת לשקול סוג זה של בעיה. זה כרוך ב- התפלגות הבינומית עם הסתברות להצלחה שניתנה על ידי ע = 1/6. הנוסחה בדיוק k שהקוביות הללו הן מספר מסוים נקרא פונקצית מסת ההסתברות של הבינומיום הפצה.

מצב נוסף שעלינו לקחת בחשבון הוא ההסתברות לגלגל לפחות מספר מסוים של ערך מסוים. לדוגמא, כאשר אנו מגלגלים חמש קוביות, מה ההסתברות לגלגל לפחות שלוש? יכולנו לגלגל שלושה כאלה, ארבעה כאלה או חמישה. כדי לקבוע את ההסתברות שאנחנו רוצים למצוא, אנו מצרפים יחד שלוש הסתברויות.

להלן יש לנו טבלת הסתברויות להשגה מדויקת k של ערך מסוים כשאנחנו מגלגלים חמישה קוביות.

בשלב הבא נשקול את הטבלה הבאה. זה נותן את ההסתברות לגלגל לפחות מספר מסוים של ערך כשאנחנו מגלגלים בסך הכל חמש קוביות. אנו רואים שלמרות שסביר מאוד לגלגל לפחות 2 אחת, זה לא פחות סביר לגלגל לפחות ארבע 2.