מה התפאורה הריקה בתורת הקבוצות?

מתי שום דבר לא יכול להיות משהו? זה נראה כמו שאלה מטופשת, ודי פרדוקסלית. בתחום המתמטי של תורת הקבוצות, זה שגרתי ששום דבר לא יהיה משהו שאינו כלום. איך זה יכול להיות?

כאשר אנו יוצרים סט ללא אלמנטים, אין לנו עוד דבר. יש לנו סט עם שום דבר בו. יש שם מיוחד לסט שלא מכיל אלמנטים. זה נקרא סט הריק או null.

ההגדרה של הסט הריק היא עדינה למדי ודורשת מעט מחשבה. חשוב לזכור שאנו חושבים על א סט כאוסף של אלמנטים. הסט עצמו שונה מהאלמנטים שהוא מכיל.

לדוגמה, נסתכל על {5}, שהיא קבוצה המכילה את האלמנט 5. הסט {5} אינו מספר. זו קבוצה עם המספר 5 כאלמנט, ואילו 5 הוא מספר.

באופן דומה, הסט הריק אינו דבר. במקום זאת, זה הסט ללא אלמנטים. זה עוזר לחשוב על סטים כמכולות, והאלמנטים הם אותם דברים שאנחנו מכניסים לתוכם. מיכל ריק הוא עדיין מיכל והוא מקביל לסט הריק.

הסט הריק הוא ייחודי, וזו בדיוק הסיבה שהיא מתאימה לחלוטין לדבר עליו ה סט ריק, במקום א סט ריק. זה הופך את הסט הריק להבדיל מסטים אחרים. יש אינסוף סטים עם אלמנט אחד בתוכם. לסטים {a}, {1}, {b} ו- {123} כל אחד מהם אלמנט אחד, ולכן הם שווים זה לזה. מכיוון שהאלמנטים עצמם שונים זה מזה, הסטים אינם שווים.

אין שום דבר מיוחד בדוגמאות שלמעלה שלכל אחת מהן יש אלמנט אחד. למעט יוצא מן הכלל, לכל מספר ספירה או אינסוף, יש אינסוף קבוצות מאותו גודל. יוצא הדופן הוא למספר אפס. יש רק קבוצה אחת, הסט הריק, ללא אלמנטים בה.

ההוכחה המתמטית לעובדה זו אינה קשה. ראשית אנו מניחים כי הסט הריק אינו ייחודי, שיש שני קבוצות ללא אלמנטים בהם, ואז משתמשים בכמה מאפיינים מתורת הקבוצות כדי להראות שהנחה זו מרמזת על סתירה.

הסט הריק מסומן על ידי הסמל ∅, שמקורו בסמל דומה באלף-בית הדני. ספרים מסוימים מתייחסים לסט הריק בשמו החלופי של ערכת null.

מכיוון שיש רק קבוצה אחת ריקה, כדאי לראות מה קורה כאשר פעולות הסט של צומת, איחוד ומשלים משמשים לסט הריק ולמערכה כללית שאותה נציין על ידי איקס. מעניין לקחת בחשבון גם תת-קבוצה של הסט הריק ומתי הקבוצה הריקה היא תת-קבוצה. עובדות אלה נאספות להלן:

• ה צומת מכל הסט עם הסט הריק הוא הסט הריק. הסיבה לכך היא שאין אלמנטים בערכה הריקה, ולכן לשתי הסטים אין אלמנטים משותפים. בסמלים אנו כותבים איקס ∩ ∅ = ∅.
• ה איחוד מכל סט עם הסט הריק הוא הסט שאיתו התחלנו. הסיבה לכך היא שאין אלמנטים בערכה הריקה, ולכן איננו מוסיפים אלמנטים כלשהם לסט האחר כשאנחנו יוצרים את האיחוד. בסמלים אנו כותבים איקס U ∅ = איקס.
• ה השלמה של הסט הריק הוא הסט האוניברסלי עבור התפאורה בה אנו עובדים. הסיבה לכך היא שהערכה של כל האלמנטים שאינם בקבוצה הריקה היא רק הסט של כל האלמנטים.
• הסט הריק הוא תת-קבוצה של כל קבוצה. הסיבה לכך היא שאנו יוצרים קבוצות משנה של סט איקס על ידי בחירה (או לא בחירה) של אלמנטים מתוך איקס. אפשרות אחת לקבוצת משנה היא להשתמש כלל באלמנטים איקס. זה נותן לנו את הסט הריק.