ההסתברות לגלגל בית מלא ביהצי?

המשחק של Yahtzee כולל שימוש בחמישה קוביות סטנדרטיות. בכל סיבוב מקבלים לשחקנים שלוש לחמניות. לאחר כל רול, ניתן לשמור על מספר קוביות כלשהו, ​​כאשר המטרה היא להשיג שילובים מסוימים של קוביות אלה. כל שילוב מסוג אחר שווה כמות שונה של נקודות.

אחד מסוגי השילובים הללו נקרא בית מלא. כמו בית מלא במשחק הפוקר, שילוב זה כולל שלושה ממספר מסוים יחד עם זוג של מספר אחר. מכיוון ש- Yahtzee כולל גלגול של קוביות אקראיות, ניתן לנתח את המשחק הזה על ידי שימוש בהסתברות כדי לקבוע עד כמה סביר לגלגל בית מלא בתוך גליל בודד.

נתחיל בהצהרת הנחותינו. אנו מניחים שהקוביות בהן נעשה שימוש הוגנות ובלתי תלויות זו בזו. המשמעות היא שיש לנו שטח מדגם אחיד המורכב מכל הגלילים האפשריים של חמשת הקוביות. למרות המשחק של Yahtzee מאפשר שלוש לחמניות, נשקול רק את המקרה שאנחנו משיגים בית מלא בסיבוב בודד.

מכיוון שאנו עובדים עם א מדיםשטח מדגם, חישוב ההסתברות שלנו הופך לחישוב של כמה בעיות ספירה. ההסתברות לבית מלא היא מספר הדרכים לגלגל בית מלא, מחולק במספר התוצאות במרחב המדגם.

מספר התוצאות במרחב המדגם הוא פשוט. מכיוון שיש חמש קוביות וכל אחת מהקוביות יכולה להיות אחת משש תוצאות שונות, מספר התוצאות במרחב המדגם הוא 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6

בשלב הבא אנו מחשבים את מספר הדרכים לגלגל בית מלא. זו בעיה קשה יותר. בכדי שיהיה לנו בית מלא, אנו זקוקים לשלושה קוביות מסוג אחד, ואחריהן זוג קוביות מסוג אחר. נחלק את הבעיה לשני חלקים:

• מה מספר הסוגים השונים של בתים מלאים שניתן היה לגלגל?
• מהי מספר הדרכים בהן ניתן לגלגל סוג מסוים של בית מלא?

ברגע שנדע את המספר לכל אחד מאלו, נוכל להכפיל אותם יחד בכדי לתת לנו את המספר הכולל של בתים מלאים שניתן לגלגל.

אנו מתחילים בבחינת מספר הסוגים השונים של בתים מלאים שניתן לגלגל. ניתן להשתמש בכל אחד מהמספרים 1, 2, 3, 4, 5 או 6 לשלושה מהסוג. נותרו חמישה מספרים לזוג. כך יש 6 x 5 = 30 סוגים שונים של שילובי בתים מלאים שניתן לגלגל.

לדוגמה, יכולנו להיות 5, 5, 5, 2, 2 כסוג אחד של בית מלא. סוג אחר של בית מלא יהיה 4, 4, 4, 1, 1. עוד אחד יהיה 1, 1, 4, 4, 4, שהוא שונה מהבית המלא שקדם לו מכיוון שתפקידים של ארבע ואלה הוחלפו.

כעת אנו קובעים את מספר הדרכים השונות לגלגל בית מלא מסוים. לדוגמה, כל אחד מהבאות מביא לנו את אותו בית מלא של שלוש ארבע ושתיים:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

אנו רואים שיש לפחות חמש דרכים לגלגל בית מלא מסוים. האם יש אחרים? גם אם אנו ממשיכים לרשום אפשרויות אחרות, כיצד נדע שמצאנו את כולן?

המפתח לענות על שאלות אלו הוא להבין כי אנו מתמודדים עם בעיית ספירה ולקבוע איזה סוג של בעיית הספירה אנו עובדים. יש חמש עמדות, ויש לשלוש שלוש מהן בארבע. הסדר בו אנו ממקמים את ארבענו אינו משנה כל עוד העמדות המדויקות מתמלאות. לאחר קביעת המיקום של הארבע, המיקום של אלה הוא אוטומטי. מסיבות אלה עלינו לקחת בחשבון את שילוב מתוך חמש עמדות שנלקחו שלוש בכל פעם.

אנו משתמשים בנוסחת השילוב כדי להשיג ג(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. המשמעות היא שיש 10 דרכים שונות לגלגל בית מלא נתון.

מחבר את כל זה יחד, יש לנו את מספר הבתים המלאים שלנו. ישנן 10 x 30 = 300 דרכים להשיג בית מלא בסיבוב אחד.

עכשיו ה הסתברות לבית מלא הוא חישוב חלוקה פשוט. מכיוון שיש 300 דרכים לגלגל בית מלא בתוך גליל בודד ויש 7776 גלילים של חמישה קוביות אפשריות, ההסתברות לגלגל בית מלא היא 300/7776, שזה קרוב ל 1/26 ו -3.85%. זה סביר פי 50 מאשר לגלגל Yahtzee בסיבוב בודד.

כמובן, סביר מאוד להניח שהגליל הראשון אינו בית מלא. אם זה המקרה, מותר לנו עוד שתי לחמניות שהופכות בית מלא להרבה יותר סביר. ההסתברות לכך מורכבת הרבה יותר לקביעה בגלל כל המצבים האפשריים שצריך לקחת בחשבון.