התיאוריה (!) במתמטיקה וסטטיסטיקה

במתמטיקה, סמלים שיש משמעויות מסוימות בשפה האנגלית יכול להיות דברים מיוחדים ושונים מאוד. לדוגמה, שקול את הביטוי הבא:

3!

לא, לא השתמשנו ב- סימן קריאה כדי להראות שאנחנו נרגשים משלוש, ואסור לנו לקרוא את המשפט האחרון בדגש. במתמטיקה הביטוי 3! נקרא "שלוש פקטוריאליות" והיא באמת דרך שורטורית לציין את הכפל של מספרים שלמים רצופים.

מכיוון שיש מקומות רבים ברחבי המתמטיקה והסטטיסטיקות בהם אנו צריכים להכפיל מספרים יחד, בית המפעל הוא די שימושי. כמה מהמקומות העיקריים שבהם הוא מופיע הם קומבינטוריקה והסתברות חשבון.

ההגדרה של בית החרושת היא שלכל מספר שלם חיובי n, המפעל:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 על 1

ראשית, נסתכל על מספר דוגמאות של בית המפעל עם ערכים קטנים של n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 על 4 x 3 על 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

כפי שאנו רואים המפעל הוא גדול מאוד מאוד מהר. משהו שאולי נראה קטן, כמו 20! למעשה יש 19 ספרות.

קל לחשב את הממצאים, אך הם יכולים להיות מעט מייגעים לחישוב. למרבה המזל, למחשבונים רבים יש מפתח עובדתי (חפש את! סמל). פונקציה זו של המחשבון אוטומטית את הכפל.

ערך אחד נוסף של בית החרושת ואחד שההגדרה הסטנדרטית שלמעלה אינה מכילה הוא זה של אפס פקטוריאלי. אם נעקוב אחר הנוסחה, לא נגיע לשום ערך עבור 0!. אין מספרים שלמים חיוביים פחות מ- 0. מכמה סיבות, ראוי להגדיר 0! = 1. בית המפעל לערך זה מופיע במיוחד בנוסחאות ל שילובים ופרמוטציות.

כשמדובר בחישובים, חשוב לחשוב לפני שנלחץ על מקש המפעל במחשבון שלנו. לחישוב ביטוי כמו 100! / 98! ישנן כמה דרכים שונות להתמודד עם זה.

דרך אחת היא להשתמש ב מחשבון למצוא שניהם 100! ו- 98!, ואז מחלקים אחד את השני. למרות שזו דרך ישירה לחישוב, קשורים בה כמה קשיים. מחשבונים מסוימים לא יכולים להתמודד עם ביטויים גדולים כמו 100! = 9.33262154 על 10¹⁵⁷. (הביטוי 10¹⁵⁷ הוא סימון מדעי שמשמעותו שאנחנו נכפיל ב -1 ואחריו 157 אפסים.) לא רק שהמספר הזה הוא מאסיבי, אלא שהוא גם רק אומדן לערך האמיתי של 100!

דרך נוספת לפשט ביטוי עם בתי חרושת כמו זו שנראית כאן אינה דורשת מחשבון כלל. הדרך לגישה לבעיה זו היא להכיר בכך שאנו יכולים לשכתב 100! לא כ 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, אך במקום זאת כ 100 x 99 x 98! הביטוי 100! / 98! עכשיו הופך להיות (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.