איך השילובים והתמרות נבדלים

לאורך מתמטיקה וסטטיסטיקה עלינו לדעת לספור. זה נכון במיוחד עבור חלקם הסתברות בעיות. נניח שניתנים לנו בסך הכל n אובייקטים מובחנים ורוצים לבחור r שלהם. זה נוגע ישירות לתחום במתמטיקה המכונה קומבינטוריקה, שהוא לימוד הספירה. שתיים מהדרכים העיקריות לספור את אלה r חפצים מ n אלמנטים נקראים פרמוטציות ושילובים. מושגים אלה קשורים זה בזה זה לזה ומתבלבלים בקלות.

מה ההבדל בין שילוב לפרמוטציה? רעיון המפתח הוא זה של הסדר. פרמוטציה שמה לב לסדר שאנחנו בוחרים את האובייקטים שלנו. אותה קבוצת חפצים, אך נלקחה בסדר אחר תיתן לנו פרמוטציות שונות. בשילוב אנו עדיין בוחרים r אובייקטים מתוך סך הכל n, אך ההזמנה אינה נחשבת עוד.

כדי להבחין בין רעיונות אלה, נשקול את הדוגמא הבאה: כמה פרמוטציות יש של שתי אותיות מהתקופה {א ב ג}?

כאן אנו מפרטים את כל זוגות האלמנטים מהסט הנתון, תוך כדי תשומת לב להזמנה. יש בסך הכל שש פרמוטציות. הרשימה של כל אלה היא: ab, ba, bc, cb, ac וכ- ca. שימו לב שככאלו פרמוטציות ab ו ba הם שונים מכיוון שבמקרה אחד א נבחר ראשון, ובשני א נבחר שני.

כעת נענה על השאלה הבאה: כמה שילובים יש של שתי אותיות בערכה {א ב ג}?

מכיוון שאנו עוסקים בשילובים, כבר לא אכפת לנו מההזמנה. אנו יכולים לפתור את הבעיה על ידי הסתכלות אחורה על הפרמוטציות ואז ביטול אלה הכוללים את אותן אותיות. כשילובים, ab ו ba נחשבים זהים. כך יש רק שלושה שילובים: ab, ac ו- bc.

במצבים בהם אנו נתקלים במערכות גדולות יותר, זה לוקח זמן רב מדי לפרט את כל התעלות או השילובים האפשריים ולספור את התוצאה הסופית. למרבה המזל, ישנן נוסחאות שנותנות לנו את מספר התמריציות או השילובים של n חפצים שצולמו r בכל פעם.

בנוסחאות אלה אנו משתמשים בסימן המקוצר n! שקוראים לו nמפעל. המפעל פשוט אומר להכפיל את כל המספרים השלמים החיוביים פחות או שווים להם n יחד. אז, למשל, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. בהגדרה 0! = 1.

מספר הפרמוטציות של n חפצים שצולמו r בכל פעם ניתן על ידי הנוסחה:

ע(n,r) = n!/(n - r)!

מספר השילובים של n חפצים שצולמו r בכל פעם ניתן על ידי הנוסחה:

ג(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

כדי לראות את הנוסחאות בעבודה, הבה נבחן את הדוגמה הראשונית. מספר התמריציות של קבוצה של שלושה אובייקטים שצולמו שניים בכל פעם ניתן על ידי ע(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. זה תואם בדיוק את מה שהשגנו על ידי רישום כל הפרמוטציות.

מספר השילובים של קבוצה של שלושה אובייקטים שצולמו שניים בכל פעם ניתן על ידי:

ג(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. שוב, זה מתיישר בדיוק עם מה שראינו קודם.

הנוסחאות בהחלט חוסכות זמן כאשר אנו מתבקשים למצוא את מספר הפרמוטציות של קבוצה גדולה יותר. למשל, כמה פרמוטציות יש של קבוצה של עשרה עצמים שצולמו שלושה בכל פעם? ייקח זמן לרשום את כל הפרמוטציות, אך עם הנוסחאות אנו רואים שיהיו:

ע(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10X9X8 = 720 פרמוטציות.

מה ההבדל בין פרמוטציות לשילובים? בשורה התחתונה, בספירת מצבים הכרוכים בהזמנה, יש להשתמש בפרמוטציות. אם ההזמנה אינה חשובה, יש להשתמש בשילובים.