כיצד לפתור משוואות בעזרת פונקציות ריקבון אקספוננציאליות

פונקציות מעריכיות לספר את סיפורי השינוי הנפיץ. שני סוגים של פונקציות מעריכיות הם צמיחה מעריכית ודעיכה מעריכית. ארבעה משתנים (אחוז שינוי, זמן, הסכום בתחילת תקופת הזמן והסכום בסוף תקופת הזמן) ממלאים תפקידים בפונקציות מעריכיות. השתמש בפונקציית דעיכה מעריכית כדי למצוא את הסכום בתחילת פרק הזמן.

ריקבון מעריכי הוא השינוי שמתרחש כאשר כמות מקורית מופחתת בשיעור קבוע לאורך זמן.

להלן פונקציית דעיכה מעריכית:

y = א (1-ב)^איקס

• y: הסכום הסופי שנותר לאחר הריקבון לאורך פרק זמן
• א: הסכום המקורי
• איקס: זמן
• גורם הדעיכה הוא (1-ב)
• המשתנה ב הוא האחוז של הירידה בצורה העשרונית.

אם אתה קורא מאמר זה, אתה כנראה שאפתן. בעוד שש שנים, אולי תרצה להמשיך תואר ראשון באוניברסיטת חלום. עם תג מחיר של 120 אלף דולר, אוניברסיטת חלומות מעוררת אימהות כלכליות בלילה. אחרי לילות ללא שינה, אתה, אמא ואבא נפגשים עם מתכנן פיננסי. עיניהם העקומות מדמם של הוריכם מתבהרות כאשר המתכנן מגלה כי השקעה בשיעור גידול של שמונה אחוזים יכולה לעזור למשפחתכם להגיע ליעד ה -120 אלף דולר. ללמוד קשה. אם אתה והוריך משקיעים היום 75,620.36 דולר, אוניברסיטת חלומות תהפוך למציאות שלך בזכות ריקבון מעריכי.

פונקציה זו מתארת ​​את הצמיחה האקספוננציאלית של ההשקעה:

120,000 = א(1 +.08)⁶

• 120,000: הסכום הסופי שנותר לאחר 6 שנים
• .08: קצב צמיחה שנתי
• 6: מספר השנים בהן ההשקעה גדלה
• א: הסכום הראשוני שמשפחתך השקיעה

בזכות המאפיין הסימטרי של שוויון, 120,000 = א(1 +.08)⁶ זהה ל א(1 +.08)⁶ = 120,000. המאפיין הסימטרי של שוויון קובע שאם 10 + 5 = 15, אז 15 = 10 + 5.

אם אתה מעדיף לשכתב את המשוואה עם הקבוע (120,000) מימין למשוואה, עשה זאת.

א(1 +.08)⁶ = 120,000

אמנם, המשוואה לא נראית כמו משוואה לינארית (6א = 120,000 $) אבל זה ניתן לפתור. להישאר עם זה!

א(1 +.08)⁶ = 120,000

אל תפתור משוואה מעריכית זו על ידי חלוקת 120,000 ב- 6. זה לא-לא מתמטיקה מפתה.

1. השתמשו בסדר הפעולות כדי לפשט

א(1 +.08)⁶ = 120,000
א(1.08)⁶ = 120,000 (Parenthesis)
א(1.586874323) = 120,000 (אקספקטנט)

2. לפתור מחלק

א(1.586874323) = 120,000
א(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1א = 75,620.35523
א = 75,620.35523

הסכום המקורי שיש להשקיע הוא 75,620.36 $.

3. הקפאה: עדיין לא סיימת; השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך

120,000 = א(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (תמצית)
120,000 = 75,620.35523 (1.586874323) (אקספקטנט)
120,000 = 120,000 (כפל)

וודפורסט, טקסס, פרבר ליוסטון, נחוש בדעתו לסגור את הפער הדיגיטלי בקהילה שלו. לפני מספר שנים גילו מנהיגי הקהילה כי אזרחיהם אינם אנאלפביתים ממוחשבים. לא הייתה להם גישה ל- מרשתת ונסגרו מכביש המהיר של המידע. המנהיגים הקימו את רשת האינטרנט העולמית על גלגלים, מערכת תחנות מחשב ניידות.

World Wide Web on Wheels השיגה את מטרתה רק 100 אזרחים אנאלפביתים ממוחשבים ב- Woodforest. מנהיגי הקהילה בחנו את ההתקדמות החודשית של רשת האינטרנט העולמית על גלגלים. על פי הנתונים, ניתן לתאר את דעיכתם של אזרחים אנאלפביתים ממוחשבים על ידי הפונקציה הבאה:

100 = א(1 - .12)¹⁰

1. כמה אנשים אנאלפביתים ממוחשבים עשרה חודשים לאחר הקמת האינטרנט העולמי על גלגלים?

• 100 איש

השווה פונקציה זו לפונקציית הצמיחה האקספוננציאלית המקורית:

100 = א(1 - .12)¹⁰
y = א (1 + b)^איקס

ה משתנהy מייצג את מספר האנשים שאינם אנאלפביתים ממוחשבים בסוף 10 חודשים, כך שמאה אנשים עדיין אינם אנאלפביתים ממוחשבים לאחר שהאינטרנט העולמי על גלגלים החל לעבוד בקהילה.

2. האם פונקציה זו מייצגת ריקבון מעריכי או צמיחה מעריכית?

• פונקציה זו מייצגת ריקבון מעריכי מכיוון שסימן שלילי יושב מול אחוז השינוי (.12).

3. מה שיעור השינוי החודשי?

• 12 אחוזים

4. כמה אנשים היו אנאלפביתים של מחשבים לפני 10 חודשים, עם תחילת הרשת העולמית על גלגלים?

• 359 אנשים

להשתמשסדר פעולות לפשט.

100 = א(1 - .12)¹⁰

100 = א(.88)¹⁰ (תמצית)

100 = א(.278500976) (אקספקטנט)

מחלקים לפתור.

100(.278500976) = א(.278500976) / (.278500976)

359.0651689 = 1א

359.0651689 = א

השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.

100 = 359.0651689(1 - .12)¹⁰

100 = 359.0651689(.88)¹⁰ (תמצית)

100 = 359.0651689 (.278500976) (אקספקטנט)

100 = 100 (להכפיל)

5. אם מגמות אלה יימשכו, כמה אנשים יהיו אנאלפביתים ממוחשבים 15 חודשים לאחר הקמת האינטרנט העולמי על גלגלים?

• 52 אנשים

הוסף את מה שאתה יודע על הפונקציה.

y = 359.0651689(1 - .12) ^איקס

y = 359.0651689(1 - .12) ¹⁵

השתמש בסדר הפעולות כדי למצוא y.

y = 359.0651689(.88)¹⁵ (תמצית)

y = 359.0651689 (.146973854) (אקספקטנט)

y = 52.77319167 (להכפיל).