ערך צפוי לצ'אק-מזל

צ'אק-מזל הוא משחק מקריות. שלוש קוביות מגולגלים, לפעמים במסגרת תיל. בשל מסגרת זו, משחק זה נקרא גם כלוב ציפורים. משחק זה נראה לעתים קרובות יותר בקרנבלים ולא בבתי קזינו. עם זאת, בגלל השימוש בקוביות אקראיות אנו יכולים להשתמש בהסתברות לניתוח משחק זה. ליתר דיוק נוכל לחשב את הערך הצפוי של משחק זה.

ישנם כמה סוגים של הימורים שאפשר להמר עליהם. נשקול רק את הימור המספר היחיד. על ההימור הזה אנו פשוט בוחרים מספר ספציפי מאחד לשש. ואז אנו מגלגלים את הקוביות. שקול את האפשרויות. כל הקוביות, שתיים מהן, אחת מהן או אף אחת לא יכלו להראות את המספר שבחרנו.

נניח שמשחק זה ישלם את הדברים הבאים:

• 3 דולר אם שלוש הקוביות תואמות למספר שנבחר.
• 2 דולר אם שתי קוביות בדיוק תואמות למספר שנבחר.
• $ 1 אם בדיוק אחד מהקוביות תואם למספר שנבחר.

אם אף אחת מהקוביות לא תואמת למספר שנבחר, עלינו לשלם 1 $.

מה הערך הצפוי של המשחק הזה? במילים אחרות, בטווח הארוך כמה בממוצע היינו מצפים לנצח או להפסיד אם היינו משחקים את המשחק הזה שוב ושוב?

על מנת למצוא את הערך הצפוי של משחק זה עלינו לקבוע ארבע הסתברויות. הסתברויות אלה תואמות את ארבע התוצאות האפשריות. אנו מציינים כי כל מתים אינם תלויים באחרים. בשל עצמאות זו אנו משתמשים בכלל הכפל. זה יעזור לנו לקבוע את מספר התוצאות.

אנו גם מניחים שהקוביות הוגנות. סביר להניח כי כל אחד מששת הצדדים בכל אחד משלושת הקוביות יתגלגל.

יש 6 x 6 x 6 = 216 תוצאות אפשריות מגלגול שלושת הקוביות הללו. מספר זה יהיה המכנה לכל ההסתברויות שלנו.

יש דרך אחת להתאים את שלוש הקוביות למספר שנבחר.

יש חמש דרכים למות בודד שלא יתאים למספר הנבחר שלנו. פירוש הדבר שיש 5 x 5 x 5 = 125 דרכים שאף אחת מהקוביות שלנו לא תואמת למספר שנבחר.

אם אנו רואים בדיוק שניים מהקוביות תואמות, אז יש לנו מת אחד שאינו תואם.

• ישנן 1 x 1 x 5 = 5 דרכים לשתי הקוביות הראשונות להתאים למספר שלנו והשלישית להיות שונה.
• ישנן 1 x 5 x 1 = 5 דרכים לקוביות הראשונה והשלישית להתאמה, והשנייה תהיה שונה.
• ישנן 5 x 1 x 1 = 5 דרכים למות הראשון להיות שונה ולשני והשלישי להתאמה.

המשמעות היא שיש בסך הכל 15 דרכים להתאמה של שתי קוביות בדיוק.

כעת חישבנו את מספר הדרכים להשיג את כל התוצאות מלבד אחת. ישנם 216 לחמניות אפשריות. חשבנו כי 1 + 15 + 125 = 141 מהם. משמעות הדבר היא כי נותרו 216 -141 = 75.

אנו אוספים את כל המידע לעיל ורואים:

• ההסתברות שהמספר שלנו תואם את שלושת הקוביות הוא 1/216.
• ההסתברות שהמספר שלנו תואם בדיוק לשני קוביות הוא 15/216.
• ההסתברות שהמספר שלנו תואם בדיוק למות אחד היא 75/216.
• ההסתברות שהמספר שלנו לא תואם לאף אחד מהקוביות הוא 125/216.

אנו מוכנים כעת לחשב את ה- ערך צפוי של המצב הזה. ה נוסחה לערך צפוי דורש מאיתנו להכפיל את ההסתברות של כל אירוע ברווח או הפסד נטו אם האירוע מתרחש. לאחר מכן אנו מוסיפים את כל המוצרים הללו יחד.

החישוב של הערך הצפוי הוא כדלקמן:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

זה בערך - 0.08 $. הפרשנות היא שאם היינו משחקים את המשחק הזה שוב ושוב, בממוצע היינו מפסידים 8 סנט בכל פעם ששיחקנו.