חידות הסתברות: סיכויים של סומק בפוקר

יש הרבה ידיים בשם פוקר שונות. כזו שקל להסביר נקראת סומק. סוג יד זה מורכב מכל קלף עם אותה חליפה.

ניתן ליישם כמה מהטכניקות של קומבינטוריקה, או חקר הספירה, כדי לחשב את ההסתברות לציור סוגים מסוימים של ידיים בפוקר. ההסתברות לקבל סומק היא יחסית פשוטה למציאה אך היא מסובכת יותר מחישוב ה- ההסתברות לקבל סומק מלכותי.

לשם הפשטות, נניח שחמישה קלפים ניתנים מ 52 חפיסות קלפים סטנדרטיותללא תחליף. אין קלפים פראיים, והשחקן שומר על כל הקלפים המועברים אליו או לה.

אנו לא נעסוק בסדר בו נמשכים הקלפים הללו, ולכן כל יד היא א שילוב מתוך חמישה קלפים שנלקחו מסיפון של 52 קלפים. יש מספר כולל של ג(52, 5) = 2,598,960 ידיים ברורות אפשריות. מערכת הידיים הזו מהווה את שלנו שטח מדגם.

אנו מתחילים במציאת ההסתברות של סומק ישר. סומק ישר הוא יד עם כל חמשת הקלפים בסדר רציף, כולם מאותה חליפה. על מנת לחשב נכונה את ההסתברות של סומק ישר, יש כמה תנאים שעלינו לקבוע.

אנו לא סופרים סומק מלכותי כסומק ישר. אז הסומק ישר בעל הדירוג הגבוה ביותר מורכב מתשע, עשרה, ג'ק, מלכה ומלך מאותה חליפה. מכיוון שאס יכול לספור קלף נמוך או גבוה, הסומק ישר בעל הדירוג הנמוך ביותר הוא אס, שניים, שלושה, ארבעה וחמש מאותה חליפה. ישרים אינם יכולים לעבור דרך האס, כך שמלכה, מלך, אס, שניים ושלושה אינם נחשבים כסטרייטים.

תנאים אלה פירושם שיש תשעה סומקים ישרים של חליפה נתונה. מכיוון שיש ארבע חליפות שונות, הדבר הופך 4 x 9 = 36 סומקות ישרות. לכן ההסתברות לסומק ישר היא 36 / 2,598,960 = 0.0014%. זה שווה בערך ל- 1/72193. אז בטווח הרחוק, היינו מצפים לראות את היד הזו פעם אחת מכל 72,193 ידיים.

סומק מורכב מחמישה קלפים שכולם באותה חליפה. עלינו לזכור שיש ארבע חליפות שכל אחת מהן כוללת 13 קלפים. לפיכך סומק הוא שילוב של חמישה קלפים מתוך סך הכל 13 מאותה חליפה. זה נעשה ב ג(13, 5) = 1287 דרכים. מכיוון שיש ארבע חליפות שונות, קיימות בסך הכל 4 x 1287 = 5148 סומק.

חלק מהסמקים הללו כבר נספרו כידיים בעלות דירוג גבוה יותר. עלינו להפחית את מספר הסמקים והסומק המלכותי החל מ 5148 על מנת להשיג סומק שאינו בדרגה גבוהה יותר. יש 36 סומק ישר ו -4 סומק מלכותי. עלינו לדאוג שלא לספור כפול את הידיים האלה. המשמעות היא שיש 5148 - 40 = 5108 שטיפות שאינן בדרגה גבוהה יותר.

כעת אנו יכולים לחשב את ההסתברות לסומק כ- 5108 / 2,598,960 = 0.1965%. הסתברות זו היא בערך 1/509. אז בטווח הרחוק, אחת מכל 509 ידיים היא סומק.

אנו יכולים לראות מהאמור לעיל כי הדירוג של כל יד תואם את ההסתברות שלו. ככל שסביר יותר שיד אחת היא נמוכה יותר בדירוג. ככל שיד לא סבירה יותר, כך דירוגו גבוה יותר.