כיצד להוכיח את כלל המשלים בהסתברות

ניתן להסיק מספר משפטים בהסתברות אקסיומות של הסתברות. ניתן ליישם משפטים אלה לחישוב הסתברויות שאולי נרצה לדעת. תוצאה אחת כזו מכונה כלל ההשלמה. הצהרה זו מאפשרת לנו לחשב את ההסתברות של אירועא על ידי הכרת ההסתברות של השלמה א^ג. לאחר קביעת כלל ההשלמה, נראה כיצד ניתן להוכיח תוצאה זו.

השלמת האירוע א מסומן על ידי א^ג. ההשלמה של א האם ה סט מכל האלמנטים בערכה האוניברסלית, או שטח מדגם S, זה לא אלמנטים של הסט א.

כלל ההשלמה בא לידי ביטוי במשוואה הבאה:

P (א^ג) = 1 - P (א)

כאן אנו רואים שההסתברות לאירוע וההסתברות להשלמתו חייבת להסתכם ב -1.

כדי להוכיח את כלל ההשלמה, נתחיל באקסיומות של הסתברות. הצהרות אלה נלקחות ללא הוכחה. נראה כי ניתן להשתמש בהם באופן שיטתי כדי להוכיח את הצהרתנו בנוגע להסתברות להשלמת אירוע.

• האקסיומה הראשונה של ההסתברות היא שההסתברות לאירוע כלשהו היא לא שלילית מספר ממשי.
• האקסיומה השנייה של ההסתברות היא שההסתברות לכל שטח הדגימה ס אחד. באופן סמלי אנו כותבים P (ס) = 1.
• האקסיומה השלישית של ההסתברות קובעת שאם א ו ב הם בלעדיים זה מזה (כלומר שיש להם צומת ריק), אז אנו מציינים את ההסתברות של איחוד אירועים אלה כ P (א U ב ) = P (א) + P (ב).

עבור כלל המשלים, לא נצטרך להשתמש באקסיומה הראשונה ברשימה שלמעלה.

כדי להוכיח את הצהרתנו אנו שוקלים את האירועים או א^ג. מתורת הקבוצות אנו יודעים כי לשתי מערכות אלה יש צומת ריק. הסיבה לכך היא שרכיב לא יכול להיות בו זמנית בשניהם א ולא בתוך א. מכיוון שיש צומת ריקה, שתי הקבוצות הללו הן בלעדיות הדדית.

איחוד שני האירועים א ו א^ג הם גם חשובים. אלה מהווים אירועים ממצים, כלומר ה איחוד של אירועים אלה הוא כל שטח הדגימה ס.

עובדות אלה בשילוב האקסיומות נותנות לנו את המשוואה

1 = P (ס) = P (א U א^ג) = P (א) + P (א^ג) .

השוויון הראשון נובע מאקסיומה ההסתברות השנייה. השוויון השני נובע מהאירועים א ו א^ג הם ממצים. השוויון השלישי הוא בגלל אקסיומה ההסתברות השלישית.

ניתן לארגן מחדש את המשוואה לעיל לצורה שאמרנו לעיל. כל שעלינו לעשות הוא להוריד את ההסתברות א משני צידי המשוואה. לכן

1 = P (א) + P (א^ג)

הופך למשוואה

P (א^ג) = 1 - P (א).

כמובן, נוכל גם לבטא את הכלל על ידי קביעה כי:

P (א) = 1 - P (א^ג).

כל שלוש המשוואות הללו הן דרכים שוות ערך לומר את אותו הדבר. מתוך ההוכחה הזו אנו רואים כיצד רק שתי אקסיומות ותורת קביעות עוברות דרך ארוכה כדי לעזור לנו להוכיח הצהרות חדשות הנוגעות להסתברות.