הבנת הגדרת ההבדל הסימטרי

קבע תיאוריה משתמש במספר פעולות שונות כדי לבנות מערכות חדשות מאלו הישנות. ישנן מגוון דרכים לבחור אלמנטים מסוימים מתוך קבוצות נתונות תוך אי הכללה של אחרים. התוצאה היא בדרך כלל קבוצה ששונה מהמקורות. חשוב שיהיו דרכים מוגדרות היטב לבניית מערכות חדשות אלה, ודוגמאות לכך כוללות את איחוד, צומת, ו ההבדל בין שתי קבוצות. פעולה קבועה שהיא אולי פחות ידועה נקראת ההבדל הסימטרי.

כדי להבין את הגדרת ההבדל הסימטרי, עלינו להבין תחילה את המילה 'או'. למרות היותה קטנה, למילה 'או' שני שימושים שונים בשפה האנגלית. זה יכול להיות בלעדי או כולל (וזה פשוט שימש בלעדית במשפט זה). אם נאמר לנו שאנחנו עשויים לבחור בין A או B, והתחושה היא בלעדית, יתכן שתהיה לנו רק אחת משתי האפשרויות. אם התחושה היא מכילה, יתכן שיש לנו A, יתכן ויהיה לנו B, או שיש לנו גם A וגם B.

בדרך כלל ההקשר מנחה אותנו כשאנחנו מתמודדים עם המילה או שאנחנו אפילו לא צריכים לחשוב על אופן השימוש בה. אם נשאל אם נרצה שמנת או סוכר אצלנו קפה, משתמע בבירור שאולי יש לנו שני אלה. במתמטיקה אנו רוצים לחסל את העמימות. אז למילה 'או' במתמטיקה יש חוש כוללני.

המילה 'או' משמשת אפוא במובן הכולל בהגדרת האיחוד. האיחוד בין הסטים A ו- B הוא קבוצת האלמנטים בשני A או B (כולל האלמנטים שנמצאים בשתי הקבוצות). אבל כדאי לבצע פעולת סט שמבנית את הסט המכיל אלמנטים ב- A או B, שם משתמשים 'או' במובן הבלעדי. זה מה שאנחנו מכנים את ההבדל הסימטרי. ההבדל הסימטרי של הסטים A ו- B הם אותם אלמנטים ב- A או B, אך לא בשני A וגם B. בעוד שהציון משתנה עבור ההבדל הסימטרי, אנו נכתוב את זה כ א ∆ ב

כדוגמה להבדל הסימטרי, נשקול את הסטים א = {1,2,3,4,5} ו- ב = {2,4,6}. ההבדל הסימטרי בין קבוצות אלה הוא {1,3,5,6}.

ניתן להשתמש בפעולות סט אחרות כדי להגדיר את ההבדל הסימטרי. מההגדרה לעיל ברור כי אנו עשויים לבטא את ההבדל הסימטרי של A ו- B כהבדל האיחוד של A ו- B והצומת של A ו- B. בסמלים אנו כותבים: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

ביטוי שווה ערך, המשתמש בכמה פעולות סט שונות, עוזר להסביר את ההבדל הסימטרי של השם. במקום להשתמש בניסוח שלעיל, אנו עשויים לכתוב את ההבדל הסימטרי באופן הבא: (A - B) ∪ (B - A). כאן אנו רואים שוב שההבדל הסימטרי הוא מערך האלמנטים ב- A אך לא B, או ב- B אך לא ב- A. כך שללנו את אותם יסודות בצומת A ו- B. אפשר להוכיח באופן מתמטי ששתי הנוסחאות הללו שוות ערך ומתייחסות לאותה קבוצה.

ההבדל הסימטרי בשם מעיד על קשר להבדל בין שתי קבוצות. הבדל קבוע זה ניכר בשתי הנוסחאות לעיל. אצל כל אחד מהם חולל הפרש של שני מערכות. מה שמבדיל את ההבדל הסימטרי מההבדל הוא הסימטריה שלו. על ידי בנייה, ניתן לשנות את התפקידים של A ו- B. זה לא נכון לגבי ההבדל בין שתי מערכות.

כדי להדגיש נקודה זו, עם מעט עבודה בלבד נראה את הסימטריה של ההבדל הסימטרי מאז שאנו רואים A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.