מונופול הוא משחק לוח בו השחקנים זוכים להוציא לפועל את הקפיטליזם. שחקנים קונים ומוכרים נכסים וגובים אחד מהשני שכר דירה. למרות שישנם חלקים חברתיים ואסטרטגיים מהמשחק, השחקנים מעבירים את החלקים שלהם סביב הלוח על ידי גלגול של שתי קוביות סטנדרטיות בעלות שישה צדדים. מכיוון שהדבר קובע באופן בו השחקנים עוברים, יש גם היבט של הסתברות למשחק. על ידי ידיעת עובדות מעטות בלבד, אנו יכולים לחשב עד כמה סביר לנחות על חללים מסוימים בשתי הסיבובים הראשונים בתחילת המשחק.
הקוביות
בכל סיבוב, שחקן מגלגל שתי קוביות ואז מזיז את היצירה שלו שהיא מרווחת על הלוח. לכן כדאי לסקור את הסתברויות לגלגול שתי קוביות. לסיכום, הסכומים הבאים אפשריים:
- לסכום של שניים יש הסתברות 1/36.
- לסכום של שלושה יש הסתברות 2/36.
- לסכום של ארבעה יש הסתברות 3/36.
- לסכום של חמישה יש הסתברות 4/36.
- לסכום של שישה יש הסתברות 5/36.
- לסכום של שבעה יש הסתברות 6/36.
- לסכום של שמונה יש הסתברות 5/36.
- לסכום של תשעה יש הסתברות 4/36.
- לסכום של עשרה יש הסתברות 3/36.
- לסכום של אחד עשר יש הסתברות 2/36.
- לסכום של שתים עשרה יש הסתברות 1/36.
ההסתברויות הללו יהיו חשובות מאוד ככל שנמשיך.
לוח המשחקים של מונופול
עלינו לשים לב גם ללוח המשחקים של מונופול. יש בסך הכל 40 חללים סביב לוח המשחקים, עם 28 נכסים, מסילות ברזל או כלי עזר אלה שניתן לרכוש. שישה חללים כוללים ציור כרטיס מערימות צ'אנס או קהילת החזה. שלושה חללים הם חללים חופשיים בהם שום דבר לא קורה. שני חללים הכוללים תשלום מיסים: מס הכנסה או מס יוקרה. חלל אחד שולח את השחקן לכלא.
נשקול רק את שתי הסיבובים הראשונים של משחק מונופול. במהלך פניות אלה, הרחוק ביותר שיכולנו לעקוף את הלוח הוא לגלגל שתים עשרה פעמיים ולהזיז בסך הכל 24 חללים. אז נבדוק רק את 24 החללים הראשונים בלוח. כדי שהמרווחים הללו הם:
- שדרת הים התיכון
- חזה קהילתי
- השדרה הבלטית
- מס הכנסה
- רכבת הקריאה
- שדרת המזרח
- סיכוי
- שדרת ורמונט
- מס קונטיקט
- רק ביקור בכלא
- סנט ג'יימס פלייס
- חברת החשמל
- שדרות המדינות
- שדרת וירג'יניה
- רכבת פנסילבניה
- סנט ג'יימס פלייס
- חזה קהילתי
- שדרת טנסי
- שדרת ניו יורק
- חניה חינם
- שדרת קנטאקי
- סיכוי
- שדרת אינדיאנה
- שדרת אילינוי
פנה ראשונה
הפנייה הראשונה יחסית יחסית. מכיוון שיש לנו הסתברויות לגלגול שתי קוביות, אנו פשוט מתאימים את אלה לריבועים המתאימים. למשל החלל השני הוא כיכר החזה של הקהילה וישנה הסתברות של 1/36 לגלגל סכום של שניים. לפיכך ישנה הסתברות של 1/36 לנחות על חזה הקהילה בפנייה הראשונה.
להלן ההסתברות לנחות על המרחבים הבאים בפנייה הראשונה:
- חזה קהילתי - 1/36
- השדרה הבלטית - 2/36
- מס הכנסה - 3/36
- רכבת קריאה - 4/36
- שדרת אוריינטל - 5/36
- סיכוי - 6/36
- שדרת ורמונט - 5/36
- מס קונטיקט - 4/36
- סתם ביקור בכלא - 3/36
- סנט ג'יימס פלייס - 2/36
- חברת חשמל - 1/36
סיבוב שני
חישוב ההסתברויות לפנייה השנייה קשה מעט יותר. אנו יכולים לגלגל בסך הכל שניים בשני הסיבובים וללכת לפחות ארבעה חללים, או בסך הכל 12 בשני הסיבובים וללכת מקסימום 24 חללים. ניתן להגיע לכל רווחים בין ארבע ל -24. אך ניתן לעשות זאת בדרכים שונות. לדוגמה, נוכל להזיז בסך הכל שבעה חללים על ידי העברת כל אחד מהשילובים הבאים:
- שני חללים בפנייה הראשונה וחמישה חללים בפנייה השנייה
- שלושה חללים בפנייה הראשונה וארבעה חללים בפנייה השנייה
- ארבעה חללים בפנייה הראשונה ושלושה חללים בפנייה השנייה
- חמישה חללים בפנייה הראשונה ושני חללים בפנייה השנייה
עלינו לקחת בחשבון את כל האפשרויות הללו בעת חישוב הסתברויות. זריקות כל תור אינן תלויות בזריקת התור הבאה. כך שאנחנו לא צריכים לדאוג הסתברות מותנית, אלא רק צריך להכפיל כל אחת מההסתברויות:
- ההסתברות לגלגל שתיים ואז חמישה היא (1/36) x (4/36) = 4/1296.
- ההסתברות לגלגל שלשה ואז ארבעה היא (2/36) x (3/36) = 6/1296.
- ההסתברות לגלגל ארבע ואז שלשה היא (3/36) x (2/36) = 6/1296.
- ההסתברות לגלגל חמש ואז שתיים היא (4/36) x (1/36) = 4/1296.
כלל תוספות בלעדי הדדי
הסתברויות אחרות לשתי סיבובים מחושבות באותה צורה. עבור כל מקרה, עלינו רק להבין את כל הדרכים האפשריות להשיג סכום כולל המתאים לאותו ריבוע בלוח המשחק. להלן ההסתברויות (מעוגלות למאה האחוז הקרוב ביותר) לנחיתה על המרחבים הבאים בפנייה הראשונה:
- מס הכנסה - 0.08%
- רכבת קריאה - 0.31%
- שדרת אוריינטל - 0.77%
- סיכוי - 1.54%
- שדרת ורמונט - 2.70%
- מס קונטיקט - 4.32%
- סתם מבקר בכלא - 6.17%
- סנט ג'יימס פלייס - 8.02%
- חברת חשמל - 9.65%
- מדינת שדרת - 10.80%
- שדרת וירג'יניה - 11.27%
- רכבת פנסילבניה - 10.80%
- סנט ג'יימס פלייס - 9.65%
- חזה קהילתי - 8.02%
- שדרת טנסי 6.17%
- שדרת ניו יורק 4.32%
- חניה חינם - 2.70%
- שדרת קנטאקי - 1.54%
- סיכוי - 0.77%
- שדרת אינדיאנה - 0.31%
- שדרת אילינוי - 0.08%
יותר משלוש סיבובים
לפניות נוספות המצב קשה עוד יותר. סיבה אחת היא שבכללי המשחק אם נגלל כפיל שלוש פעמים ברציפות אנחנו הולכים לכלא. כלל זה ישפיע על ההסתברויות שלנו בדרכים שלא היינו צריכים לשקול קודם. בנוסף לכלל זה, ישנן השפעות של קלפי החזה והקהילה שאיננו שוקלים. חלק מהקלפים האלה מכוונים לשחקנים לדלג על חללים ולעבור ישירות לחללים מסוימים.
בשל המורכבות החישובית המוגברת, הופך קל יותר לחשב את ההסתברויות ליותר מסיבובים ספורים באמצעות שיטות מונטה קרלו. מחשבים יכולים לדמות מאות אלפי אם לא מיליוני משחקי מונופול, וההסתברות לנחיתה על כל חלל ניתנת לחישוב אמפירי ממשחקים אלה.