יצירת רגעים של פונקציות של משתנים אקראיים

דרך אחת לחשב את הממוצע והשונות של א חלוקת הסתברויות זה למצוא את ערכים צפויים של המשתנים האקראיים איקס ו איקס². אנו משתמשים בסימון ה(איקס) ו ה(איקס²) לציין את הערכים הצפויים האלה. באופן כללי, קשה לחשב ה(איקס) ו ה(איקס²) באופן ישיר. כדי לעקוף את הקושי הזה, אנו משתמשים בכמה תיאוריה ומתמטיקה מתמטיים מתקדמים יותר. התוצאה הסופית היא דבר שמקל על החישובים שלנו.

האסטרטגיה לבעיה זו היא להגדיר פונקציה חדשה, של משתנה חדש t זה נקרא פונקצית יצירת הרגע. פונקציה זו מאפשרת לנו לחשב רגעים פשוט על ידי לקיחת נגזרים.

לפני שאנו מגדירים את הפונקציה ליצירת הרגע, אנו מתחילים בהגדרת השלב בסימון והגדרות. אנחנו נתנו איקס להיות א משתנה אקראי בדיד. למשתנה אקראי זה פונקציית מסת ההסתברות ו(איקס). שטח המדגם שאנו עובדים איתו יצוין על ידי ס.

במקום לחשב את הערך הצפוי של איקס, אנו רוצים לחשב את הערך הצפוי של פונקציה מעריכית הקשורה איקס. אם יש חיובי מספר ממשיr כך ש ה(ה^tX) קיים והוא סופי לכולם t במרווח [-r, r], אז נוכל להגדיר את הפונקציה ליצירת הרגע של איקס.

הפונקציה ליצירת הרגעים היא הערך הצפוי של הפונקציה האקספוננציאלית שלמעלה. במילים אחרות, אנו אומרים כי הפונקציה המייצרת את הרגע של איקס ניתן ע"י:

M(t) = ה(ה^tX)

ערך צפוי זה הנוסחה Σ ה^txו (איקס), שם הסיכום משתלט על הכל איקס בתוך ה שטח מדגםס. זה יכול להיות סכום סופי או אינסופי, תלוי במרחב המדגם שמשתמשים בו.

הפונקציה ליצירת הרגע כוללת תכונות רבות המתחברות לנושאים אחרים בהסתברות וסטטיסטיקה מתמטית. חלק מהתכונות החשובות ביותר כוללות:

• המקדם של ה^tb היא ההסתברות ש איקס = ב.
• פונקציות ליצירת רגעים הן בעלות תכונה ייחודית. אם הפונקציות המייצרות את הרגע לשני משתנים אקראיים תואמות זו את זו, פונקציות מסת ההסתברות חייבות להיות זהות. במילים אחרות, המשתנים האקראיים מתארים את אותה התפלגות ההסתברות.
• ניתן להשתמש בפונקציות ליצירת רגעים כדי לחשב רגעים של איקס.

הפריט האחרון ברשימה שלעיל מסביר את השם של פונקציות ליצירת רגעים וגם את השימושיות שלהם. כמה מתמטיקה מתקדמת אומרת כי בתנאים שהצבנו, נגזרת של כל סדר של הפונקציה M (t) קיים למתי t = 0. יתר על כן, במקרה זה, אנו יכולים לשנות את סדר הסיכום וההבחנה ביחס אליו t להשיג את הנוסחאות הבאות (כל הסיכומים עומדים על הערכים של איקס במרחב המדגם ס):

• M’(t) = Σ xe^txו (איקס)
• M’’(t) = Σ איקס²ה^txו (איקס)
• M’’’(t) = Σ איקס³ה^txו (איקס)
• M⁽ⁿ⁾’(t) = Σ איקסⁿה^txו (איקס)

אם נקבע t = 0 בנוסחאות לעיל, ואז ה- ה^tx מונח הופך ה⁰ = 1. כך אנו מקבלים נוסחאות לרגעי המשתנה האקראי איקס:

• M’(0) = ה(איקס)
• M’’(0) = ה(איקס²)
• M’’’(0) = ה(איקס³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = ה(איקסⁿ)

המשמעות היא שאם הפונקציה ליצירת הרגע קיימת עבור משתנה אקראי מסוים, נוכל למצוא את הממוצע שלה ואת השונות שלו מבחינת הנגזרים של פונקציית יצירת הרגעים. הממוצע הוא M'(0), והשונות היא M’’(0) – [M’(0)]².

לסיכום, היינו צריכים לדשדש בכמה מתמטיקה די חזקה המונעת, כך שחלק מהדברים הוסרו. למרות שעלינו להשתמש בחשבון לצורך האמור לעיל, בסופו של דבר, העבודה המתמטית שלנו היא בדרך כלל קלה יותר מאשר על ידי חישוב הרגעים ישירות מההגדרה.